Modelación Matemática V: Ingeniería, Ciencias Naturales y Ciencias Sociales

Este libro está dirigido principalmente a profesionales, profesores y estudiantes de los últimos semestres de licenciatura o de posgrado, interesados en conocer aplicaciones de la Matemática en Ingeniería, Ciencias Naturales y Ciencias Sociales. Los temas que se abordan contienen la deducción, el análisis, la solución y la validación de los modelos matemáticos propuestos para cada problema. Los autores, quienes son especialistas en cada tema, muestran la importancia de la modelación matemática para la solución de problemas prácticos y de actualidad en el mundo.
Esta obra está conformada por temas sobre modelos matemáticos que han sido dictaminados por especialistas en modelación matemática de cada área y está dividida en tres partes, la primera contiene modelos en Ingeniería, la segunda en Ciencias Naturales y la tercera parte contiene modelos matemáticos en Ciencias Sociales.
En el capítulo 1 se presenta un modelo matemático para una interfaz háptica. Una interfaz háptica sirve para que el usuario experimente una interacción bilateral entre un dispositivo háptico y un ambiente físico o virtual; por ejemplo, en aplicaciones de teleoperación, las interfaces hápticas permiten una interacción bilateral a distancia con la ayuda de un sistema maestroesclavo. Sin embargo, el uso de sensores de fuerza en estos dispositivos hápticos, aumenta la complejidad en el diseño, debido a las dimensiones geométricas, la masa y el ancho de banda del sensor, para las aplicaciones requeridas; para ello, los autores proponen estimar la fuerza aplicada por el usuario sin el uso de sensores de fuerza, utilizando un Observador Proporcional Integral Generalizado (GPI Observer), considerando una palanca háptica en interacción con una pared virtual con dinámica viscoelástica unidimensional. De esta manera, la fuerza aplicada por el usuario se considera como una señal de perturbación localmente acotada, que se puede aproximar por un polinomio de Taylor variante en el tiempo de cuarto grado y que a través de un Observador de Luenberger basado en la dinámica extendida del sistema (compuesta por
la dinámica de la palanca háptica y la dinámica de la fuerza como estados del sistema), se logra la estimación de la fuerza aplicada por el usuario. Los resultados de simulación numérica muestran la efectividad de esta estrategia. En el capítulo 2, los autores describen la modelación matemática de un sistema de propulsión de un vehículo eléctrico, el cual está conformado por cuatro motores brushless de corriente continua en rueda, utilizando un control PID, que regula las velocidades de cada motor de acuerdo a las referencias dadas por un diferencial electrónico diseñado usando la formulación de Ackerman. El capítulo inicia con la deducción de los modelos matemáticos de un motor BLDC, de un diferencial electrónico y de un control PID, para posteriormente  obtener la relación entre ellos y finalmente, presentar las simulaciones numéricas para casos particulares de maniobra del vehículo.
En el último capítulo de la parte de modelos en Ingeniería, se presenta una propuesta de diseño para un robot esfera con movimiento omnidireccional en un plano. Los robots esfera son un tipo especial de robots móviles cuyos mecanismos de locomoción y de dirección se encuentran dentro de una carcasa esférica; esta clase de robots presentan algunas ventajas en comparación con otros robots móviles con ruedas, orugas o piernas; por ejemplo: la carcasa externa protege a todos los sistemas del robot, pueden tener movimiento omnidireccional y son energéticamente eficientes. Las principales desventajas de los robots esfera son: problemas con su movimiento sobre terrenos irregulares, limitantes en el uso de sensores del ambiente y su diseño es complejo.
Recientemente se han desarrollado robots esfera para diversas aplicaciones, principalmente para tareas de exploración y de vigilancia. Los autores de este trabajo, describen los componentes constitutivos del sistema y desarrollan con detalle el proceso de obtención del modelo dinámico usando el formalismo de Euler-Lagrange. El modelo no lineal es linealizado alrededor de un punto de equilibrio y posteriormente se obtienen resultados de simulaciones numéricas mediante un software de análisis dinámico que permiten verificar la validez del modelo lineal para su posterior uso en estrategias de control de movimiento para el robot.

La segunda parte del libro, contiene los capítulos 4, 5 y 6, que corresponden a modelos matemáticos en Ciencias Naturales. El capítulo 4 contiene un modelo matemático en Astrofísica, en el que se aborda la modelación de la geometría de paredes de cavidades en discos protoplanetarios mediante el código ARTeMiSE. Este tema es de gran interés en el área de la Astronomía, principalmente en la línea de formación de estrellas y discos protoplanetarios ya
que el autor estudia la geometría de la pared de las cavidades en discos protoplanetarios transicionales y pretransicionales; en el cual, el mecanismo principal es la formación de un planeta. Para realizar sus simulaciones, utilizan un algoritmo computacional llamado ARTeMiSE y los resultados que obtienen los validan con los reportados en la literatura.

En el capítulo 5 se presenta un modelo matemático en Biología, el cual tiene por objetivo explorar el trípode enraizado más probable que explique ciertas relaciones ancestrales de tres especies actuales, tomando un modelo matemático general y después aplicando los resultados a ejemplos específicos. Un modelo de reconstrucción filogenético está compuesto por un árbol filogenético y por un modelo de evolución molecular. El modelo de evolución molecular tipo Jukes-Cantor (JC69) le asigna la misma probabilidad a cada mutación de nucleótidos y la Condición de Reloj Molecular (CRM) fija la tasa de mutación a lo largo de todo el árbol filogenético. En este capítulo el autor retoma un problema que data de 2006, cuyo objetivo es responder una pregunta asociada a un árbol filogenético tipo trípode con raíz, cuyo modelo de evolución molecular es JC69 y donde se ha impuesto CRM, para el que las frecuencias relativas de los diferentes patrones de sustitución se adoptan como parámetros, provenientes de un alineamiento de tres especies actuales y, se pregunta si existen algunas regiones del espacio de los parámetros que impliquen la unicidad de las dimensiones del trípode. Hasta este año 2023, el problema ha sido resuelto parcialmente sobre condiciones de frontera, usando la técnica de máxima verosimilitud y el autor parte de una simplificación del problema al empaquetar los
nucleótidos en purinas y pirimidinas. Basado en los resultados obtenidos, el autor proporciona evidencia de que tres especies del género Lophiarella podrían no ajustarse unívocamente a un trípode con raíz, cuyo modelo de evolución molecular es JC69, sujeto a CRM.

En el capítulo 6, se presenta un modelo matemático en Hidrología utilizando la modelación basada en agentes. Se modela el riesgo de inundación en la Gran Cuenca del Valle de México y se realiza un análisis de sensibilidad de los parámetros de un modelo de percolación del fuego en un bosque. La modelación basada en agentes es una herramienta útil para tomar decisiones en situaciones que pueden llegar a ser sumamente complejas, de modo tal que se prefiere este enfoque sobre otros métodos y heurísticas. Se ha empleado con éxito en una amplia variedad de contextos como biología, ciencias sociales, ecología, epidemiología, física, etc. La tercera parte del libro contiene un modelo matemático en Ciencias Sociales, en el que se presenta la construcción de un modelo basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales para identificar lenguas nativas que pudieran estar en peligro de extinción debido a la interacción de sus hablantes con otros grupos y sobre todo debido a la emigración.

Se discute la existencia de otros trabajos en la literatura, poniendo el trabajo en perspectiva. El resultado teórico principal de este trabajo es sobre la posibilidad de coexistencia de ambas lenguas; este resultado afirma que si la tasa de emigración de los individuos que hablan la lengua nativa es baja y si los que dominan la lengua extranjera no son buenos para convencer a los no hablantes entonces ambas lenguas pueden convivir en la población sin el temor de que alguna se extinga. Este resultado es fundamental a la hora de implementar una estrategia de conservación de las lenguas, ya que da las condiciones suficientes para la coexistencia.También se presenta una aplicación del modelo a dos comunidades de la región mixteca oaxaqueña: Yucuquimi de Ocampo y Santa María Tindú.